Moving Average Additiv Modell

Schritte bei der Auswahl eines Prognosemodells Ihr Prognosemodell sollte Merkmale beinhalten, die alle wichtigen qualitativen Eigenschaften der Daten erfassen: Muster der Variation in Level und Trend, Auswirkungen von Inflation und Saisonalität, Korrelationen zwischen Variablen usw. Darüber hinaus sind die Annahmen, die Ihrem zugrunde liegen Gewähltes Modell sollte mit Ihrer Intuition übereinstimmen, wie sich die Serie wahrscheinlich in der Zukunft verhalten wird. Bei der Anpassung eines Prognosemodells haben Sie einige der folgenden Optionen: Diese Optionen werden im Folgenden kurz beschrieben. Weitere Informationen finden Sie im dazugehörigen Prognose-Ablaufdiagramm für eine bildliche Darstellung des Modellspezifikationsprozesses und verweisen auf das Statgraphics Model Specification Panel, um zu sehen, wie die Modellmerkmale in der Software ausgewählt werden. Deflation Wenn die Serie das Inflationswachstum zeigt, dann wird die Deflation dazu beitragen, das Wachstumsmuster zu berücksichtigen und die Heterosedastizität in den Residuen zu reduzieren. Sie können entweder (i) die vergangenen Daten entleeren und die langfristigen Prognosen mit einer konstanten angenommenen Rate neu anlegen oder (ii) die vergangenen Daten durch einen Preisindex wie den CPI deflationieren und dann die langfristigen Prognosen quellenfristig neu erstellen Eine Prognose des Preisindexes. Option (i) ist am einfachsten. In Excel können Sie einfach eine Spalte von Formeln erstellen, um die ursprünglichen Werte durch die entsprechenden Faktoren zu teilen. Zum Beispiel, wenn die Daten monatlich sind und Sie mit einer Rate von 5 pro 12 Monate deflationieren möchten, würden Sie durch einen Faktor von (1.05) (k12) teilen, wobei k der Zeilenindex (Beobachtungsnummer) ist. RegressIt und Statgraphics haben integrierte Tools, die dies automatisch für Sie tun. Wenn Sie diese Route gehen, ist es in der Regel am besten, die angenommene Inflationsrate gleich Ihrer besten Schätzung der aktuellen Rate, vor allem, wenn Sie gehen zu prognostizieren mehr als eine Periode vor. Wenn Sie stattdessen die Option (ii) wählen, müssen Sie zuerst die deflationierten Prognosen und Vertrauensgrenzen auf Ihre Datenkalkulationstabelle speichern, dann eine Prognose für den Preisindex erzeugen und speichern und schließlich die entsprechenden Spalten zusammen multiplizieren. (Rückkehr nach oben) Logarithmus-Transformation Wenn die Reihe das zusammengesetzte Wachstum und ein multiplikatives saisonales Muster zeigt, kann eine Logarithmus-Transformation zusätzlich zu oder lieu der Deflation hilfreich sein. Die Protokollierung der Daten wird ein inflationäres Wachstumsmuster nicht verkleinern, aber es wird es so ausrichten, dass es durch ein lineares Modell (z. B. ein zufälliges Spaziergang oder ARIMA-Modell mit konstantem Wachstum oder ein lineares exponentielles Glättungsmodell) angepasst werden kann. Auch das Protokollieren wird multiplikative saisonale Muster zu additiven Mustern umwandeln, so dass, wenn Sie saisonale Anpassung nach dem Protokollieren durchführen, sollten Sie den additiven Typ verwenden. Die Protokollierung befasst sich mit der Inflation implizit, wenn Sie wollen, dass die Inflation explizit modelliert wird - d. h. Wenn Sie möchten, dass die Inflationsrate ein sichtbarer Parameter des Modells ist oder wenn Sie Plots von deflationierten Daten anzeigen möchten, dann sollten Sie sich entleeren, anstatt sich zu loggen. Eine weitere wichtige Verwendung für die Log-Transformation ist die Linearisierung von Beziehungen zwischen Variablen in einem Regressionsmodus l. Wenn zum Beispiel die abhängige Variable eine multiplikative und nicht additive Funktion der unabhängigen Variablen ist oder wenn die Beziehung zwischen abhängigen und unabhängigen Variablen in Form von prozentualen Änderungen anstelle von absoluten Änderungen linear ist, dann eine Log-Transformation auf eine oder mehrere Variablen anwenden Kann angemessen sein, wie im Beispiel des Bierverkaufs. (Zurück zum Seitenanfang.) Saisonale Anpassung Wenn die Serie ein starkes Saisonmuster hat, von dem angenommen wird, dass sie von Jahr zu Jahr konstant ist, kann die saisonale Anpassung ein geeigneter Weg sein, um das Muster zu schätzen und zu extrapolieren. Der Vorteil der saisonalen Anpassung ist, dass es das saisonale Muster explizit modelliert und Ihnen die Möglichkeit gibt, die saisonalen Indizes und die saisonbereinigten Daten zu studieren. Der Nachteil ist, dass es die Schätzung einer großen Anzahl von zusätzlichen Parametern erfordert (insbesondere für monatliche Daten), und es stellt keine theoretische Begründung für die Berechnung von fehlerhaften Konfidenzintervallen zur Verfügung. Out-of-Sample-Validierung ist besonders wichtig, um das Risiko der Überlagerung der vergangenen Daten durch saisonale Anpassung zu reduzieren. Wenn die Daten stark saisonal sind, aber Sie nicht wählen saisonale Anpassung, die Alternativen sind entweder (i) verwenden Sie eine saisonale ARIMA-Modell. Die implizit das saisonale Muster mit saisonalen Verzögerungen und Unterschieden prognostiziert, oder (ii) das Winters saisonale exponentielle Glättungsmodell verwenden, das zeitveränderliche saisonale Indizes schätzt. (Zurück zum Seitenanfang.) QuotIndependentquot Variablen Wenn es noch andere Zeitreihen gibt, von denen man glaubt, dass sie in Bezug auf Ihre interessante Serie (zB führende Wirtschaftsindikatoren oder politische Variablen wie Preis, Werbung, Promotionen etc.) Möchte die Regression als Modelltyp betrachten. Ob Sie Regression wählen oder nicht, müssen Sie die oben genannten Möglichkeiten für die Umwandlung Ihrer Variablen (Deflation, Log, saisonale Anpassung - und vielleicht auch differenzierende) berücksichtigen, um die Zeitdimension zu nutzen und die Beziehungen zu linearisieren. Auch wenn Sie an dieser Stelle keine Regression wählen, können Sie erwähnen, Regressoren später zu einem Zeitreihenmodell (z. B. einem ARIMA-Modell) hinzuzufügen, wenn die Residuen sich mit anderen Variablen signifikanten Kreuzkorrelationen ergeben. (Zurück zum Seitenanfang) Glättung, Mittelung oder zufälliger Spaziergang Wenn Sie sich für die saisonale Anpassung der Daten entschieden haben - oder wenn die Daten nicht saisonal beginnen, dann können Sie vielleicht ein Mittelwert oder ein Glättungsmodell verwenden Passt das nicht-seasonal Muster, das in den Daten an dieser Stelle bleibt. Ein einfaches gleitendes durchschnittliches oder einfaches exponentielles Glättungsmodell berechnet lediglich einen lokalen Durchschnitt von Daten am Ende der Reihe, unter der Annahme, dass dies die beste Schätzung des aktuellen Mittelwerts ist, um den die Daten schwanken. (Diese Modelle gehen davon aus, dass der Mittelwert der Serie langsam und zufällig ohne anhaltende Trends variiert.) Eine einfache exponentielle Glättung wird normalerweise einem einfachen gleitenden Durchschnitt bevorzugt, weil ihr exponentiell gewichteter Durchschnitt eine sinnvollere Aufgabe hat, die älteren Daten zu diskontieren, weil seine Glättungsparameter (alpha) ist kontinuierlich und lässt sich leicht optimieren und weil es eine zugrundeliegende theoretische Grundlage für die Berechnung von Konfidenzintervallen hat. Wenn Glättung oder Mittelung nicht hilfreich zu sein scheint - d. h. Wenn der beste Prädiktor des nächsten Wertes der Zeitreihe einfach seinen vorherigen Wert ist - dann wird ein zufälliges Wandermodell angezeigt. Dies ist beispielsweise dann der Fall, wenn die optimale Anzahl von Terme im einfachen gleitenden Durchschnitt 1 ist oder wenn der optimale Wert von alpha in einfacher exponentieller Glättung 0,9999 beträgt. Browns lineare exponentielle Glättung kann verwendet werden, um eine Serie mit langsam zeitveränderlichen linearen Trends passen, aber vorsichtig sein, um solche Trends sehr weit in die Zukunft zu extrapolieren. (Die sich schnell wachsenden Konfidenzintervalle für dieses Modell belegen seine Ungewissheit über die ferne Zukunft.) Holts lineare Glättung schätzt auch zeitveränderliche Trends, verwendet aber separate Parameter für die Glättung von Level und Trend, was in der Regel eine bessere Anpassung an die Daten liefert Als Brown8217s Modell. Q uadratische exponentielle Glättung versucht, zeitvariable quadratische Trends abzuschätzen und sollte praktisch niemals verwendet werden. (Dies entspricht einem ARIMA-Modell mit drei Ordnungen von Nichtseason-Differenzen.) Lineare exponentielle Glättung mit einem gedämpften Trend (d. h. ein Trend, der sich in entfernten Horizonten abflacht) wird oft in Situationen empfohlen, in denen die Zukunft sehr unsicher ist. Die verschiedenen exponentiellen Glättungsmodelle sind Sonderfälle von ARIMA Modellen (siehe unten) und können mit ARIMA Software ausgestattet werden. Insbesondere ist das einfache exponentielle Glättungsmodell ein ARIMA (0,1,1) Modell, das Holt8217s lineare Glättungsmodell ist ein ARIMA (0,2,2) Modell und das gedämpfte Trendmodell ist ein ARIMA (1,1,2 ) Modell. Eine gute Zusammenfassung der Gleichungen der verschiedenen exponentiellen Glättungsmodelle finden Sie auf dieser Seite auf der SAS-Website. (Die SAS-Menüs für die Spezifizierung von Zeitreihenmodellen werden auch dort gezeigt, wie sie in den Statgraphiken ähnlich sind.) Lineare, quadratische oder exponentielle Trendlinienmodelle sind weitere Optionen für die Extrapolation einer entsetzten Serie, aber sie übertreffen selten zufällige Spaziergänge, Glättung oder ARIMA-Modelle auf Geschäftsdaten. (Zurück zum Seitenanfang) Winters Seasonal Exponential Smoothing Winters Saisonale Glättung ist eine Erweiterung der exponentiellen Glättung, die gleichzeitig zeitveränderliche Level-, Trend - und saisonale Faktoren mit rekursiven Gleichungen schätzt. (So, wenn du dieses Modell benutzt, würdest du die Daten nicht saisonal anpassen.) Die Wintersaisonfaktoren können entweder multiplikativ oder additiv sein: Normalerweise sollten Sie die multiplikative Option wählen, wenn Sie die Daten nicht angemeldet haben. Obwohl das Winters-Modell clever und vernünftig intuitiv ist, kann es schwierig sein, in der Praxis anzuwenden: Es hat drei Glättungsparameter - Alpha, Beta und Gamma - für die getrennte Glättung der Level-, Trend - und Saisonfaktoren, die geschätzt werden müssen gleichzeitig. Die Bestimmung der Startwerte für die saisonalen Indizes kann durch Anwendung der Verhältnis-zu-Verschiebung durchschnittlichen Methode der saisonalen Anpassung an Teil oder alle der Serie und oder durch Backforecasting erfolgen. Der Schätzalgorithmus, den Statgraphics für diese Parameter verwendet, scheitert manchmal nicht und liefert Werte, die bizarr aussehende Prognosen und Konfidenzintervalle geben, also würde ich bei der Verwendung dieses Modells Vorsicht walten lassen. (Zurück zum Seitenanfang.) ARIMA Wenn Sie keine saisonale Anpassung wählen (oder wenn die Daten nicht saisonal sind), können Sie das ARIMA-Modell-Framework verwenden. ARIMA-Modelle sind eine sehr allgemeine Klasse von Modellen, die zufälligen Spaziergang, zufälligen Trend, exponentielle Glättung und autoregressive Modelle als spezielle Fälle beinhaltet. Die konventionelle Weisheit ist, dass eine Serie ein guter Kandidat für ein ARIMA-Modell ist, wenn (i) es durch eine Kombination von differenzierenden und anderen mathematischen Transformationen wie Protokollierung stationiert werden kann, und (ii) Sie haben eine beträchtliche Menge an Daten zu arbeiten : Mindestens 4 volle Jahreszeiten bei saisonalen Daten. (Wenn die Serie durch Differenzierung nicht adäquat stationärisiert werden kann - zB wenn es sehr unregelmäßig ist oder ihr Verhalten im Laufe der Zeit qualitativ verändert hat - oder wenn Sie weniger als 4 Datenperioden haben, dann wäre es besser, mit einem Modell besser zu sein Das saisonale Anpassung und eine Art einfache Mittelung oder Glättung verwendet.) ARIMA Modelle haben eine spezielle Namenskonvention von Box und Jenkins eingeführt. Ein nicht-seasonales ARIMA-Modell wird als ARIMA (p, d, q) - Modell klassifiziert, wobei d die Anzahl der nicht-seasonalen Differenzen ist, p die Anzahl der autoregressiven Terme (Verzögerungen der differenzierten Reihe) und q die Anzahl der Moving - Durchschnittliche Ausdrücke (Verzögerungen der Prognosefehler) in der Vorhersagegleichung. Ein saisonales ARIMA-Modell wird als ARIMA (p, d, q) x (P, D, Q) klassifiziert. Wobei D, P und Q jeweils die Anzahl der saisonalen Unterschiede, saisonale autoregressive Begriffe (Verzögerungen der differenzierten Reihen bei Vielfachen der Saisonperiode) und saisonale gleitende Durchschnittsterme (Verzögerungen der Prognosefehler bei Vielfachen der Saison Periode). Der erste Schritt in der Anpassung eines ARIMA-Modells ist es, die richtige Reihenfolge der Differenzierung zu bestimmen, die benötigt wird, um die Serie zu stationieren und die Brutto-Features der Saisonalität zu entfernen. Dies ist gleichbedeutend mit der Bestimmung, welche Quoten-Zufalls-Spaziergang oder Zufalls-Trend-Modell den besten Ausgangspunkt bietet. Versuchen Sie nicht, mehr als 2 Gesamtaufträge von differencing (nicht saisonale und saisonale kombiniert) zu verwenden, und verwenden Sie nicht mehr als einen saisonalen Unterschied. Der zweite Schritt ist zu bestimmen, ob ein konstanter Begriff in das Modell gehören: in der Regel haben Sie einen konstanten Begriff, wenn die gesamte Reihenfolge der Differenzierung ist 1 oder weniger, sonst sind Sie nicht. In einem Modell mit einer Reihenfolge der Differenzierung stellt der konstante Begriff den durchschnittlichen Trend in den Prognosen dar. In einem Modell mit zwei Ordnungen der Differenzierung wird der Trend in den Prognosen durch den am Ende der Zeitreihe beobachteten lokalen Trend bestimmt und der konstante Term repräsentiert den Trend-in-the-Trend, dh die Krümmung der Langzeit - Langfristige prognosen Normalerweise ist es gefährlich, Trends-in-Trends zu extrapolieren, also unterdrücken Sie den dazugehörigen Begriff in diesem Fall. Der dritte Schritt besteht darin, die Anzahl der autoregressiven und gleitenden Durchschnittsparameter (p, d, q, P, D, Q) zu wählen, die benötigt werden, um jegliche Autokorrelation zu beseitigen, die in den Resten des naiven Modells verbleibt (dh jegliche Korrelation, Bloß differenzierend). Diese Zahlen bestimmen die Anzahl der Verzögerungen der differenzierten Serien und die Verzögerungen der Prognosefehler, die in der Prognosegleichung enthalten sind. Wenn es an dieser Stelle keine signifikante Autokorrelation in den Residuen gibt, dann ist das getan: das beste Modell ist ein naives Modell Wenn es eine signifikante Autokorrelation bei den Verzögerungen 1 oder 2 gibt, sollten Sie versuchen, q1 einzustellen, wenn einer der folgenden Punkte zutrifft: ( I) Es gibt einen nicht-saisonalen Unterschied im Modell, (ii) die Verzögerung 1 Autokorrelation ist negativ. Und (iii) die restliche Autokorrelationskurve ist sauberer (weniger, mehr isolierte Spikes) als die restliche partielle Autokorrelationskurve. Wenn es keinen nicht-saisonalen Unterschied in der Modell-und und die Lag 1 Autokorrelation ist positiv und und die restlichen partiellen Autokorrelation Handlung sieht sauberer, dann versuchen p1. (Manchmal sind diese Regeln für die Wahl zwischen p1 und q1 in Konflikt mit einander, in welchem ​​Fall es wahrscheinlich nicht viel Unterschied, die Sie verwenden. Versuchen Sie sie beide und vergleichen.) Wenn es Autokorrelation bei Verzögerung 2, die nicht durch die Einstellung p1 entfernt wird Oder q1, dann kannst du p2 oder q2 oder gelegentlich p1 und q1 ausprobieren. Noch seltener kann man Situationen begegnen, in denen p2 oder 3 und q1 oder umgekehrt die besten Ergebnisse liefert. Es wird sehr dringend empfohlen, dass Sie pgt1 und qgt1 nicht im selben Modell verwenden. Im Allgemeinen sollten Sie bei der Montage von ARIMA-Modellen eine zunehmende Modellkomplexität vermeiden, um nur winzige weitere Verbesserungen der Fehlerstatistiken oder das Aussehen der ACF - und PACF-Plots zu erhalten. Auch in einem Modell mit pgt1 und qgt1 gibt es eine gute Möglichkeit der Redundanz und Nicht-Eindeutigkeit zwischen den AR - und MA-Seiten des Modells, wie in den Anmerkungen zur mathematischen Struktur des ARIMA-Modells s erläutert. Es ist in der Regel besser, in einer vorwärts schrittweise statt rückwärts schrittweise Weise vorzugehen, wenn man die Modellspezifikationen anpasst: Mit einfacheren Modellen beginnen und nur noch mehr Begriffe hinzufügen, wenn es einen klaren Bedarf gibt. Die gleiche Regelung gilt für die Anzahl der saisonalen autoregressiven Begriffe (P) und die Anzahl der saisonalen gleitenden Durchschnittstermine (Q) in Bezug auf die Autokorrelation zum Saisonzeitraum (z. B. Verzögerung 12 für monatliche Daten). Versuchen Sie Q1, wenn es bereits einen saisonalen Unterschied im Modell gibt und die saisonale Autokorrelation negativ ist und die restliche Autokorrelationskurve in der Nähe der Saisonverzögerung sauberer aussieht, sonst versuchen Sie P1. (Wenn es logisch ist, dass die Serie eine starke Saisonalität aufweist, dann müssen Sie einen saisonalen Unterschied verwenden, sonst wird das saisonale Muster bei Langzeitprognosen ausblenden.) Gelegentlich können Sie P2 und Q0 oder Vice v ersa ausprobieren, Oder PQ1. Allerdings ist es sehr dringend empfohlen, dass PQ nie größer sein sollte als 2. Saisonmuster haben selten die Art von perfekter Regelmäßigkeit über eine ausreichend große Anzahl von Jahreszeiten, die es ermöglichen würde, zuverlässig zu identifizieren und zu schätzen, dass viele Parameter. Außerdem wird der Backforecasting-Algorithmus, der bei der Parameterschätzung verwendet wird, wahrscheinlich zu unzuverlässigen (oder sogar verrückten) Ergebnissen führen, wenn die Anzahl der Jahreszeiten von Daten nicht signifikant größer als PDQ ist. Ich würde nicht weniger als PDQ2 volle Jahreszeiten empfehlen, und mehr ist besser. Auch bei der Montage von ARIMA-Modellen sollten Sie darauf achten, dass die Daten nicht übertrieben werden, trotz der Tatsache, dass es eine Menge Spaß sein kann, sobald Sie den Hang davon bekommen. Wichtige Sonderfälle: Wie oben erwähnt, ist ein ARIMA (0,1,1) - Modell ohne Konstante identisch mit einem einfachen exponentiellen Glättungsmodell und nimmt einen Floating-Level an (d. h. keine mittlere Reversion), aber mit null langfristigem Trend. Ein ARIMA (0,1,1) Modell mit Konstante ist ein einfaches exponentielles Glättungsmodell mit einem linearen Trendbegriff. Ein ARIMA (0,2,1) oder (0,2,2) Modell ohne Konstante ist ein lineares exponentielles Glättungsmodell, das einen zeitveränderlichen Trend ermöglicht. Ein ARIMA (1,1,2) - Modell ohne Konstante ist ein lineares exponentielles Glättungsmodell mit gedämpftem Trend, d. h. ein Trend, der sich schließlich in längerfristigen Prognosen abhebt. Die gebräuchlichsten saisonalen ARIMA-Modelle sind das ARIMA (0,1,1) x (0,1,1) Modell ohne Konstante und das ARIMA (1,0,1) x (0,1,1) Modell mit konstantem. Die ersteren dieser Modelle setzen grundsätzlich eine exponentielle Glättung sowohl der nicht-seasonalen als auch der saisonalen Komponenten des Musters in den Daten ein, während sie einen zeitveränderlichen Trend zulassen, und das letztere Modell ist etwas ähnlich, nimmt aber einen konstanten linearen Trend an und ist daher etwas langer - term Vorhersagbarkeit. Sie sollten immer diese beiden Modelle unter Ihrer Aufstellung von Verdächtigen, wenn passende Daten mit konsistenten saisonalen Muster. Einer von ihnen (vielleicht mit einer geringfügigen Variation, wie z. B. steigende p oder q um 1 undeiner Einstellung P1 sowie Q1) ist oft die beste. (Zurück zum Seitenanfang) Semi-Additive-Maßnahmen im DAX Werte wie Inventar und Bilanzkonto, die in der Regel aus einer Snapshot-Tabelle berechnet werden, erfordern die Verwendung von semi-additiven Maßnahmen. Im Multidimensionalen haben Sie spezifische Aggregationstypen wie LastChild und LastNonEmpty. In PowerPivot und Tabular verwenden Sie DAX, der flexibel genug ist, um eine beliebige Berechnung durchzuführen, wie in diesem Artikel beschrieben. UPDATE 2014-02-03: feste Fehler in ClosingNonBlank Funktionen dank Franj Tonsen8217s Kommentar. Eine semi-additive Maßnahme aggregiert keine Daten über alle Attribute wie eine reguläre additive Maßnahme. Zum Beispiel können Maße wie Balance Account und Product Inventory Units über jedes Attribut, aber Zeit aggregiert werden. Anstatt den gewählten Zeitraum (ein Jahr, einen Monat) zu betrachten, betrachten Sie nur einen bestimmten Zeitpunkt in Bezug auf den gewählten Zeitraum. Es könnte der erste Tag sein, der letzte Tag, der letzte Tag, der Transaktionen hatte, und so weiter. Diese Bedingung ist typisch für Tabellen, die Schnappschüsse im Laufe der Zeit enthalten, wie Produktinventur oder Kontenbilanz. In der folgenden Tabelle sehen Sie einen Auszug aus einer Inventardabelle. Das gleiche Produkt hat einen Units Balance Wert für jedes Datum und Sie können nicht summieren eine solche Spalte für zwei verschiedene Termine (Sie können den Durchschnitt über verschiedene Termine berechnen). Wenn du den Wert von Units Balance für Juli 2001 berechnen willst, musst du die Zeilen für den letzten Tag wie einen Monat filtern und die Zeilen für alle anderen Tage ignorieren. Allerdings müssen Sie regelmäßige Aggregation für andere Maßnahmen wie Units In und Units Out verwenden, die regelmäßige additive Maßnahmen sind. Um eine halbadditive Maßnahme im DAX umzusetzen, verwenden Sie eine Technik, die derjenigen ähnelt, die verwendet wurde, um Aggregationen und Vergleiche im Laufe der Zeit zu berechnen. Sie ändern den Filter über das Datum in einer CALCULATE-Anweisung, aber in diesem Fall beschränken Sie den Bereich der ausgewählten Daten, anstatt sie zu erweitern (wie Jahr-zu-Datum) oder verschieben (wie im Vorjahr). Erstes und letztes Datum Sie können LASTDATE verwenden, um den letzten Tag im aktuellen Filterkontext für eine bestimmte Datumspalte zu erhalten, die als Argument übergeben wurde. Das Ergebnis ist eine Tabelle mit einer Spalte und einem Wert, den Sie als Filterargument in einer CALCULATE-Anweisung verwenden können, wie in der folgenden Definition: Das Ergebnis zeigt, dass die Summe für jedes Quartal dem Wert des letzten Monats im Quartal entspricht (Z. B. ist der Q1-Wert der gleiche wie der März). Jeder Monatswert entspricht dem Wert des letzten Tages in diesem Monat (hier nicht dargestellt). First and Last Non Blank Die Units LastDate Berechnung geht davon aus, dass es in jedem Monat Daten für jedes Jahr gibt. Wenn das Inventar täglich ist, ist dies kein Problem, aber es könnte ein Problem werden, falls das Inventar nur für Werktage geschrieben wird: Wenn ein Monat an einem Samstag wäre, würden Sie den ganzen Monat sehen. Das Problem ist für zukünftige Termine offensichtlich. Im folgenden Bild sehen Sie, was passiert mit Units LastDate mit einer Inventar-Tabelle, die Zeilen bis 15. Dezember 2007 hat: Sie sehen nicht die Summe für das Jahr 2007, für Q4 und für Dezember Der Grund dafür ist, dass die LASTDATE-Formel auf verfügbare Termine arbeitet Im Filter-Kontext und der Date-Tabelle enthält alle Tage für das Jahr 2007 (was eine bewährte Praxis ist, sonst würden andere Time Intelligence-Funktionen nicht korrekt funktionieren). Sie können eine andere DAX-Funktion verwenden, LASTNONBLANK, die das letzte Datum zurückgibt, das eine nicht leere Bedingung für einen als zweites Argument übergebenen Ausdruck erfüllt. Es ist wichtig, dass das zweite Argument des LASTNONBLANK den Kontextübergang mit einer impliziten oder expliziten BERECHNUNG anwendet, sonst würden Sie den Ausdruck ohne Filterung durch jedes Datum in der Periode anwenden und das Ergebnis wäre identisch mit LASTDATE. Sie sehen das Ergebnis im folgenden Bild, wo Dezember, Q4 und die Summe für 2007 alle angezeigt werden. Wenn Sie das erste Datum einer Periode anstelle des letzten benötigen, können Sie FIRSTDATE verwenden. Sie haben auch FIRSTNONBLANK, um das erste Datum mit einigen Daten zu bekommen, ähnlich wie Sie mit LASTNONBLANK für das letzte Datum mit einigen Daten tun. Alle diese Funktionen geben eine Tabelle einer Spalte und einer Zeile zurück: Aus diesem Grund können Sie sie in einem Filterargument eines CALCULATE-Aufrufs verwenden. Ein häufiger Fehler geht davon aus, dass LASTDATE und MAX das gleiche Ergebnis erzielen würden. Während dies aus logischer Sicht wahr ist, gibt es einen wichtigen syntaktischen Unterschied. Sie können den folgenden Ausdruck nicht schreiben: Die MAX-Funktion gibt einen Skalarwert zurück und das Filterargument einer CALCULATE-Funktion erfordert einen Tabellenausdruck oder eine logische Bedingung, die nur eine Spalte referenziert. So verwenden Sie MAX anstelle von LASTDATE, indem Sie die folgende Definition verwenden: Die bewährte Methode verwendet LASTDATE, wenn Sie einen Filterausdruck schreiben, während MAX besser ist, wenn Sie einen logischen Ausdruck in einem Zeilentext schreiben, da LASTDATE einen Kontextübergang impliziert Verbirgt den externen Filterkontext. Eröffnungs - und Schlussperioden Sie haben andere Time Intelligence-Funktionen, die in der semi-additiven Maßnahme nützlich sind, um das erste und das letzte Datum einer Periode (Jahr, Viertel oder Monat) zu erhalten, die nützlich sind, wann immer Sie diesen Wert einer Auswahl erhalten müssen Kleiner als der gesamte betrachtete Zeitraum. Wenn Sie zum Beispiel die Monatsstufe betrachten (die in Zeilen angezeigt werden kann), möchten Sie vielleicht auch den Wert des Quartalsende und das Ende des Jahres in der gleichen Zeile anzeigen, wie Sie im folgenden Bild sehen können . Die Definition der ClosingMonth-, ClosingQuarter-, ClosingYear-, OpeningMonth-, OpeningQuarter - und OpeningYear-Maßnahmen, die in der vorherigen Pivot-Tabelle verwendet wurden, ist die folgenden: Die vorherigen Maßnahmen entsprechen den folgenden, die mit CALCULATE und dem Filter von ENDOFMONTH, ENDOFQUARTER, ENDOFYEAR, STARTOFMONTH, STARTOFQUARTER Und STARTOFYEAR-Funktionen: Keine Funktionen für die Öffnungs - und Schließperiode betrachten die nicht leere Bedingung. Im folgenden Bild sehen Sie das Verhalten der bisherigen Abschlussmaßnahmen für das Jahr 2007, wo Daten nur bis zum 15. Dezember vorliegen. Anstelle von OPENINGCLOSING-Funktionen sollten Sie die LASTNONBLANK-Funktion als Filter in einer CALCULATE-Anweisung verwenden, wobei eine Erweiterung der Betrachtete Periode mit der Funktion PARALLELPERIOD. Hier sind die entsprechenden Definitionen: Das folgende Ergebnis ist das Endergebnis mit diesen Maßnahmen für das Jahr 2007. Die Filterberechnung kann je nach der Logik, die Sie implementieren möchten, unterschiedlich sein, aber das Muster für eine halbadditive Maßnahme besteht darin, ein einziges Datum zu filtern Über die anfängliche Auswahl der Daten im Filterkontext. Eine solche Logik ist in der Regel in einem Filter-Argument eines CALCULATE-Funktionsaufrufs, es sei denn, eine spezielle Zeit-Intelligenz-Funktion verwendet wird, versteckt die interne Berechnung, die immer auf eine CALCULATE-Anweisung angewendet wird. Sie können mich erklären, einige Aspekte der semi-additiven Maßnahmen im DAX Time Intelligence Video zu erklären. Halten Sie mich über die kommenden Artikel (Newsletter) informiert. Deaktivieren Sie, um die Datei frei zu laden. Using R für Zeitreihenanalyse Zeitreihenanalyse Diese Broschüre zeigt Ihnen, wie Sie die R-statistische Software verwenden, um einige einfache Analysen durchzuführen, die bei der Analyse von Zeitreihendaten üblich sind. Diese Broschüre geht davon aus, dass der Leser einige Grundkenntnisse der Zeitreihenanalyse hat und der Schwerpunkt der Broschüre ist nicht, die Zeitreihenanalyse zu erläutern, sondern vielmehr zu erklären, wie diese Analysen mit R durchgeführt werden können. Wenn Sie neu in der Zeitreihe sind Analyse und möchten mehr über irgendwelche der hier vorgestellten Konzepte erfahren, empfehle ich das Open University Buch 8220Time series8221 (Produktcode M24902), erhältlich ab dem Open University Shop. In dieser Broschüre verwende ich Zeitreihen-Datensätze, die von Rob Hyndman in seiner Time Series Data Library bei robjhyndmanTSDL freundlich zur Verfügung gestellt wurden. Wenn Sie diese Broschüre mögen, können Sie auch gern meine Broschüre über die Verwendung von R für biomedizinische Statistiken, a-luch-of-for-biomedical-statistics. readthedocs. org. Und meine Broschüre über die Verwendung von R für multivariate Analysen, kleine-Mon-für-Multivariate-analysis. readthedocs. org. Lesen von Zeitreihen-Daten Das erste, was Sie tun möchten, um Ihre Zeitreihendaten zu analysieren, wird es sein, es in R zu lesen und die Zeitreihen zu zeichnen. Sie können die Daten in R mit der Funktion scan () lesen, die davon ausgeht, dass sich Ihre Daten für aufeinanderfolgende Zeitpunkte in einer einfachen Textdatei mit einer Spalte befinden. Zum Beispiel enthält die Datei robjhyndmantsdldatamisckings. dat Daten über das Alter des Todes der aufeinanderfolgenden Könige von England, beginnend mit William der Eroberer (ursprüngliche Quelle: Hipel und Mcleod, 1994). Der Datensatz sieht so aus: Nur die ersten Zeilen der Datei wurden angezeigt. Die ersten drei Zeilen enthalten einen Kommentar zu den Daten, und wir wollen dies ignorieren, wenn wir die Daten in R lesen. Wir können dies verwenden, indem wir den Parameter 8220skip8221 der scan () - Funktion verwenden, der angibt, wie viele Zeilen an der Oberseite von Die Datei zu ignorieren. Um die Akte in R zu lesen, die ersten drei Zeilen zu ignorieren, geben wir an: In diesem Fall wurde das Todesalter von 42 aufeinanderfolgenden Königen von England in die Variable 8216kings8217 eingelesen. Sobald Sie die Zeitreihendaten in R gelesen haben, ist der nächste Schritt, die Daten in einem Zeitreihenobjekt in R zu speichern, damit Sie R8217s viele Funktionen zur Analyse von Zeitreihendaten verwenden können. Um die Daten in einem Zeitreihenobjekt zu speichern, verwenden wir die Funktion ts () in R. Um beispielsweise die Daten in der Variablen 8216kings8217 als Zeitreihenobjekt in R zu speichern, geben wir an: Manchmal legen die Zeitreihendaten fest Können in regelmäßigen Abständen gesammelt worden sein, die weniger als ein Jahr waren, zum Beispiel monatlich oder vierteljährlich. In diesem Fall können Sie die Anzahl der Daten festlegen, die Daten pro Jahr gesammelt wurden, indem Sie den Parameter 8216frequency8217 in der Funktion ts () verwenden. Für monatliche Zeitreihendaten setzen Sie die Frequenz12, während für vierteljährliche Zeitreihendaten die Frequenz4 eingestellt ist. Sie können auch das erste Jahr angeben, in dem die Daten gesammelt wurden, und das erste Intervall in diesem Jahr, indem Sie den Parameter 8216start8217 in der Funktion ts () verwenden. Zum Beispiel, wenn der erste Datenpunkt dem zweiten Quartal 1986 entspricht, würden Sie startc (1986,2) setzen. Ein Beispiel ist ein Datensatz der Anzahl der Geburten pro Monat in New York City, von Januar 1946 bis Dezember 1959 (ursprünglich von Newton gesammelt). Diese Daten sind in der Datei vorhanden robjhyndmantsdldatadatanybirths. dat Wir können die Daten in R lesen und als Zeitreihenobjekt speichern, indem wir folgendes eingeben: Ähnlich enthält die Datei robjhyndmantsdldatadatafancy. dat monatliche Verkäufe für einen Souvenirshop an einem Badeort in Queensland, Australien, für Januar 1987 - Dezember 1993 (Originaldaten von Wheelwright und Hyndman, 1998). Wir können die Daten in R lesen, indem wir schreiben: Plotten-Zeitreihen Sobald Sie eine Zeitreihe in R gelesen haben, ist der nächste Schritt in der Regel eine Aufstellung der Zeitreihendaten, die Sie mit der Funktion plot. ts () machen können In R. Zum Beispiel, um die Zeitreihen des Todes des Todes von 42 aufeinanderfolgenden Königen von England zu zeichnen, geben wir: Wir können aus der Zeitpläne sehen, dass diese Zeitreihe wahrscheinlich mit einem additiven Modell beschrieben werden könnte, da die zufälligen Schwankungen In den Daten sind etwa konstant in der Größe im Laufe der Zeit. Ebenso, um die Zeitreihen der Anzahl der Geburten pro Monat in der New Yorker Stadt zu zeichnen, geben wir: Wir können aus dieser Zeitreihe sehen, dass es saisonale Unterschiede in der Anzahl der Geburten pro Monat gibt: Es gibt einen Höhepunkt jeden Sommer , Und ein Trog jeden Winter. Wieder scheint es, dass diese Zeitreihe wahrscheinlich mit einem additiven Modell beschrieben werden könnte, da die saisonalen Schwankungen im Laufe der Zeit etwa konstant sind und sich nicht auf das Niveau der Zeitreihen verlassen und die zufälligen Schwankungen auch zu sein scheinen Etwa konstant in der Größe über die Zeit. Ähnlich, um die Zeitreihen der monatlichen Verkäufe für den Souvenir-Shop an einem Strand-Ferienort in Queensland, Australien zu zeichnen, geben wir an: In diesem Fall scheint es, dass ein additives Modell nicht geeignet ist, diese Zeitreihe zu beschreiben, da die Größe Der saisonalen Schwankungen und zufälligen Schwankungen scheinen mit dem Niveau der Zeitreihe zu erhöhen. So können wir die Zeitreihen umwandeln, um eine transformierte Zeitreihe zu erhalten, die mit einem additiven Modell beschrieben werden kann. Zum Beispiel können wir die Zeitreihen umwandeln, indem wir das natürliche Protokoll der ursprünglichen Daten berechnen: Hier sehen wir, dass die Größe der saisonalen Schwankungen und zufälligen Schwankungen in den logarithmierten Zeitreihen im Laufe der Zeit etwa konstant zu sein scheinen Nicht vom Niveau der Zeitreihen abhängen Somit kann die log-transformierte Zeitreihe wahrscheinlich mit einem additiven Modell beschrieben werden. Zerlegen der Zeitreihe Die Zerlegung einer Zeitreihe bedeutet, sie in ihre Bestandteile zu zerlegen, die in der Regel eine Trendkomponente und eine unregelmäßige Komponente sind, und wenn es sich um eine saisonale Zeitreihe handelt, eine saisonale Komponente. Zerlegen von nicht saisonalen Daten Eine nicht saisonale Zeitreihe besteht aus einer Trendkomponente und einer unregelmäßigen Komponente. Das Zerlegen der Zeitreihe beinhaltet das Versuchen, die Zeitreihen in diese Komponenten zu trennen, dh die Trendkomponente und die unregelmäßige Komponente zu schätzen. Zur Abschätzung der Trendkomponente einer nicht-saisonalen Zeitreihe, die mit einem additiven Modell beschrieben werden kann, ist es üblich, ein Glättungsverfahren zu verwenden, wie beispielsweise das Berechnen des einfachen gleitenden Durchschnitts der Zeitreihen. Die SMA () - Funktion im Paket 8220TTR8221 R kann verwendet werden, um Zeitreihendaten mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt zu glätten. Um diese Funktion nutzen zu können, müssen wir zuerst das Paket 8220TTR8221 R installieren (Anleitungen zur Installation eines R-Pakets finden Sie unter So installieren Sie ein R-Paket). Once you have installed the 8220TTR8221 R package, you can load the 8220TTR8221 R package by typing: You can then use the 8220SMA()8221 function to smooth time series data. To use the SMA() function, you need to specify the order (span) of the simple moving average, using the parameter 8220n8221. For example, to calculate a simple moving average of order 5, we set n5 in the SMA() function. For example, as discussed above, the time series of the age of death of 42 successive kings of England appears is non-seasonal, and can probably be described using an additive model, since the random fluctuations in the data are roughly constant in size over time: Thus, we can try to estimate the trend component of this time series by smoothing using a simple moving average. To smooth the time series using a simple moving average of order 3, and plot the smoothed time series data, we type: There still appears to be quite a lot of random fluctuations in the time series smoothed using a simple moving average of order 3. Thus, to estimate the trend component more accurately, we might want to try smoothing the data with a simple moving average of a higher order. This takes a little bit of trial-and-error, to find the right amount of smoothing. For example, we can try using a simple moving average of order 8: The data smoothed with a simple moving average of order 8 gives a clearer picture of the trend component, and we can see that the age of death of the English kings seems to have decreased from about 55 years old to about 38 years old during the reign of the first 20 kings, and then increased after that to about 73 years old by the end of the reign of the 40th king in the time series. Decomposing Seasonal Data A seasonal time series consists of a trend component, a seasonal component and an irregular component. Decomposing the time series means separating the time series into these three components: that is, estimating these three components. To estimate the trend component and seasonal component of a seasonal time series that can be described using an additive model, we can use the 8220decompose()8221 function in R. This function estimates the trend, seasonal, and irregular components of a time series that can be described using an additive model. The function 8220decompose()8221 returns a list object as its result, where the estimates of the seasonal component, trend component and irregular component are stored in named elements of that list objects, called 8220seasonal8221, 8220trend8221, and 8220random8221 respectively. For example, as discussed above, the time series of the number of births per month in New York city is seasonal with a peak every summer and trough every winter, and can probably be described using an additive model since the seasonal and random fluctuations seem to be roughly constant in size over time: To estimate the trend, seasonal and irregular components of this time series, we type: The estimated values of the seasonal, trend and irregular components are now stored in variables birthstimeseriescomponentsseasonal, birthstimeseriescomponentstrend and birthstimeseriescomponentsrandom. For example, we can print out the estimated values of the seasonal component by typing: The estimated seasonal factors are given for the months January-December, and are the same for each year. The largest seasonal factor is for July (about 1.46), and the lowest is for February (about -2.08), indicating that there seems to be a peak in births in July and a trough in births in February each year. We can plot the estimated trend, seasonal, and irregular components of the time series by using the 8220plot()8221 function, for example: The plot above shows the original time series (top), the estimated trend component (second from top), the estimated seasonal component (third from top), and the estimated irregular component (bottom). We see that the estimated trend component shows a small decrease from about 24 in 1947 to about 22 in 1948, followed by a steady increase from then on to about 27 in 1959. Seasonally Adjusting If you have a seasonal time series that can be described using an additive model, you can seasonally adjust the time series by estimating the seasonal component, and subtracting the estimated seasonal component from the original time series. We can do this using the estimate of the seasonal component calculated by the 8220decompose()8221 function. For example, to seasonally adjust the time series of the number of births per month in New York city, we can estimate the seasonal component using 8220decompose()8221, and then subtract the seasonal component from the original time series: We can then plot the seasonally adjusted time series using the 8220plot()8221 function, by typing: You can see that the seasonal variation has been removed from the seasonally adjusted time series. The seasonally adjusted time series now just contains the trend component and an irregular component. Forecasts using Exponential Smoothing Exponential smoothing can be used to make short-term forecasts for time series data. Simple Exponential Smoothing If you have a time series that can be described using an additive model with constant level and no seasonality, you can use simple exponential smoothing to make short-term forecasts. The simple exponential smoothing method provides a way of estimating the level at the current time point. Smoothing is controlled by the parameter alpha for the estimate of the level at the current time point. The value of alpha lies between 0 and 1. Values of alpha that are close to 0 mean that little weight is placed on the most recent observations when making forecasts of future values. For example, the file robjhyndmantsdldatahurstprecip1.dat contains total annual rainfall in inches for London, from 1813-1912 (original data from Hipel and McLeod, 1994). We can read the data into R and plot it by typing: You can see from the plot that there is roughly constant level (the mean stays constant at about 25 inches). The random fluctuations in the time series seem to be roughly constant in size over time, so it is probably appropriate to describe the data using an additive model. Thus, we can make forecasts using simple exponential smoothing. To make forecasts using simple exponential smoothing in R, we can fit a simple exponential smoothing predictive model using the 8220HoltWinters()8221 function in R. To use HoltWinters() for simple exponential smoothing, we need to set the parameters betaFALSE and gammaFALSE in the HoltWinters() function (the beta and gamma parameters are used for Holt8217s exponential smoothing, or Holt-Winters exponential smoothing, as described below). The HoltWinters() function returns a list variable, that contains several named elements. For example, to use simple exponential smoothing to make forecasts for the time series of annual rainfall in London, we type: The output of HoltWinters() tells us that the estimated value of the alpha parameter is about 0.024. This is very close to zero, telling us that the forecasts are based on both recent and less recent observations (although somewhat more weight is placed on recent observations). By default, HoltWinters() just makes forecasts for the same time period covered by our original time series. In this case, our original time series included rainfall for London from 1813-1912, so the forecasts are also for 1813-1912. In the example above, we have stored the output of the HoltWinters() function in the list variable 8220rainseriesforecasts8221. The forecasts made by HoltWinters() are stored in a named element of this list variable called 8220fitted8221, so we can get their values by typing: We can plot the original time series against the forecasts by typing: The plot shows the original time series in black, and the forecasts as a red line. The time series of forecasts is much smoother than the time series of the original data here. As a measure of the accuracy of the forecasts, we can calculate the sum of squared errors for the in-sample forecast errors, that is, the forecast errors for the time period covered by our original time series. The sum-of-squared-errors is stored in a named element of the list variable 8220rainseriesforecasts8221 called 8220SSE8221, so we can get its value by typing: That is, here the sum-of-squared-errors is 1828.855. It is common in simple exponential smoothing to use the first value in the time series as the initial value for the level. For example, in the time series for rainfall in London, the first value is 23.56 (inches) for rainfall in 1813. You can specify the initial value for the level in the HoltWinters() function by using the 8220l. start8221 parameter. For example, to make forecasts with the initial value of the level set to 23.56, we type: As explained above, by default HoltWinters() just makes forecasts for the time period covered by the original data, which is 1813-1912 for the rainfall time series. We can make forecasts for further time points by using the 8220forecast. HoltWinters()8221 function in the R 8220forecast8221 package. To use the forecast. HoltWinters() function, we first need to install the 8220forecast8221 R package (for instructions on how to install an R package, see How to install an R package ). Once you have installed the 8220forecast8221 R package, you can load the 8220forecast8221 R package by typing: When using the forecast. HoltWinters() function, as its first argument (input), you pass it the predictive model that you have already fitted using the HoltWinters() function. For example, in the case of the rainfall time series, we stored the predictive model made using HoltWinters() in the variable 8220rainseriesforecasts8221. You specify how many further time points you want to make forecasts for by using the 8220h8221 parameter in forecast. HoltWinters(). For example, to make a forecast of rainfall for the years 1814-1820 (8 more years) using forecast. HoltWinters(), we type: The forecast. HoltWinters() function gives you the forecast for a year, a 80 prediction interval for the forecast, and a 95 prediction interval for the forecast. For example, the forecasted rainfall for 1920 is about 24.68 inches, with a 95 prediction interval of (16.24, 33.11). To plot the predictions made by forecast. HoltWinters(), we can use the 8220plot. forecast()8221 function: Here the forecasts for 1913-1920 are plotted as a blue line, the 80 prediction interval as an orange shaded area, and the 95 prediction interval as a yellow shaded area. The 8216forecast errors8217 are calculated as the observed values minus predicted values, for each time point. We can only calculate the forecast errors for the time period covered by our original time series, which is 1813-1912 for the rainfall data. As mentioned above, one measure of the accuracy of the predictive model is the sum-of-squared-errors (SSE) for the in-sample forecast errors. The in-sample forecast errors are stored in the named element 8220residuals8221 of the list variable returned by forecast. HoltWinters(). If the predictive model cannot be improved upon, there should be no correlations between forecast errors for successive predictions. In other words, if there are correlations between forecast errors for successive predictions, it is likely that the simple exponential smoothing forecasts could be improved upon by another forecasting technique. To figure out whether this is the case, we can obtain a correlogram of the in-sample forecast errors for lags 1-20. We can calculate a correlogram of the forecast errors using the 8220acf()8221 function in R. To specify the maximum lag that we want to look at, we use the 8220lag. max8221 parameter in acf(). For example, to calculate a correlogram of the in-sample forecast errors for the London rainfall data for lags 1-20, we type: You can see from the sample correlogram that the autocorrelation at lag 3 is just touching the significance bounds. To test whether there is significant evidence for non-zero correlations at lags 1-20, we can carry out a Ljung-Box test. This can be done in R using the 8220Box. test()8221, function. The maximum lag that we want to look at is specified using the 8220lag8221 parameter in the Box. test() function. For example, to test whether there are non-zero autocorrelations at lags 1-20, for the in-sample forecast errors for London rainfall data, we type: Here the Ljung-Box test statistic is 17.4, and the p-value is 0.6, so there is little evidence of non-zero autocorrelations in the in-sample forecast errors at lags 1-20. To be sure that the predictive model cannot be improved upon, it is also a good idea to check whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. To check whether the forecast errors have constant variance, we can make a time plot of the in-sample forecast errors: The plot shows that the in-sample forecast errors seem to have roughly constant variance over time, although the size of the fluctuations in the start of the time series (1820-1830) may be slightly less than that at later dates (eg. 1840-1850). To check whether the forecast errors are normally distributed with mean zero, we can plot a histogram of the forecast errors, with an overlaid normal curve that has mean zero and the same standard deviation as the distribution of forecast errors. To do this, we can define an R function 8220plotForecastErrors()8221, below: You will have to copy the function above into R in order to use it. You can then use plotForecastErrors() to plot a histogram (with overlaid normal curve) of the forecast errors for the rainfall predictions: The plot shows that the distribution of forecast errors is roughly centred on zero, and is more or less normally distributed, although it seems to be slightly skewed to the right compared to a normal curve. However, the right skew is relatively small, and so it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero. The Ljung-Box test showed that there is little evidence of non-zero autocorrelations in the in-sample forecast errors, and the distribution of forecast errors seems to be normally distributed with mean zero. This suggests that the simple exponential smoothing method provides an adequate predictive model for London rainfall, which probably cannot be improved upon. Furthermore, the assumptions that the 80 and 95 predictions intervals were based upon (that there are no autocorrelations in the forecast errors, and the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance) are probably valid. Holt8217s Exponential Smoothing If you have a time series that can be described using an additive model with increasing or decreasing trend and no seasonality, you can use Holt8217s exponential smoothing to make short-term forecasts. Holt8217s exponential smoothing estimates the level and slope at the current time point. Smoothing is controlled by two parameters, alpha, for the estimate of the level at the current time point, and beta for the estimate of the slope b of the trend component at the current time point. As with simple exponential smoothing, the paramters alpha and beta have values between 0 and 1, and values that are close to 0 mean that little weight is placed on the most recent observations when making forecasts of future values. An example of a time series that can probably be described using an additive model with a trend and no seasonality is the time series of the annual diameter of women8217s skirts at the hem, from 1866 to 1911. The data is available in the file robjhyndmantsdldatarobertsskirts. dat (original data from Hipel and McLeod, 1994). We can read in and plot the data in R by typing: We can see from the plot that there was an increase in hem diameter from about 600 in 1866 to about 1050 in 1880, and that afterwards the hem diameter decreased to about 520 in 1911. To make forecasts, we can fit a predictive model using the HoltWinters() function in R. To use HoltWinters() for Holt8217s exponential smoothing, we need to set the parameter gammaFALSE (the gamma parameter is used for Holt-Winters exponential smoothing, as described below). For example, to use Holt8217s exponential smoothing to fit a predictive model for skirt hem diameter, we type: The estimated value of alpha is 0.84, and of beta is 1.00. These are both high, telling us that both the estimate of the current value of the level, and of the slope b of the trend component, are based mostly upon very recent observations in the time series. This makes good intuitive sense, since the level and the slope of the time series both change quite a lot over time. The value of the sum-of-squared-errors for the in-sample forecast errors is 16954. We can plot the original time series as a black line, with the forecasted values as a red line on top of that, by typing: We can see from the picture that the in-sample forecasts agree pretty well with the observed values, although they tend to lag behind the observed values a little bit. If you wish, you can specify the initial values of the level and the slope b of the trend component by using the 8220l. start8221 and 8220b. start8221 arguments for the HoltWinters() function. It is common to set the initial value of the level to the first value in the time series (608 for the skirts data), and the initial value of the slope to the second value minus the first value (9 for the skirts data). For example, to fit a predictive model to the skirt hem data using Holt8217s exponential smoothing, with initial values of 608 for the level and 9 for the slope b of the trend component, we type: As for simple exponential smoothing, we can make forecasts for future times not covered by the original time series by using the forecast. HoltWinters() function in the 8220forecast8221 package. For example, our time series data for skirt hems was for 1866 to 1911, so we can make predictions for 1912 to 1930 (19 more data points), and plot them, by typing: The forecasts are shown as a blue line, with the 80 prediction intervals as an orange shaded area, and the 95 prediction intervals as a yellow shaded area. As for simple exponential smoothing, we can check whether the predictive model could be improved upon by checking whether the in-sample forecast errors show non-zero autocorrelations at lags 1-20. For example, for the skirt hem data, we can make a correlogram, and carry out the Ljung-Box test, by typing: Here the correlogram shows that the sample autocorrelation for the in-sample forecast errors at lag 5 exceeds the significance bounds. However, we would expect one in 20 of the autocorrelations for the first twenty lags to exceed the 95 significance bounds by chance alone. Indeed, when we carry out the Ljung-Box test, the p-value is 0.47, indicating that there is little evidence of non-zero autocorrelations in the in-sample forecast errors at lags 1-20. As for simple exponential smoothing, we should also check that the forecast errors have constant variance over time, and are normally distributed with mean zero. We can do this by making a time plot of forecast errors, and a histogram of the distribution of forecast errors with an overlaid normal curve: The time plot of forecast errors shows that the forecast errors have roughly constant variance over time. The histogram of forecast errors show that it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Thus, the Ljung-Box test shows that there is little evidence of autocorrelations in the forecast errors, while the time plot and histogram of forecast errors show that it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Therefore, we can conclude that Holt8217s exponential smoothing provides an adequate predictive model for skirt hem diameters, which probably cannot be improved upon. In addition, it means that the assumptions that the 80 and 95 predictions intervals were based upon are probably valid. Holt-Winters Exponential Smoothing If you have a time series that can be described using an additive model with increasing or decreasing trend and seasonality, you can use Holt-Winters exponential smoothing to make short-term forecasts. Holt-Winters exponential smoothing estimates the level, slope and seasonal component at the current time point. Smoothing is controlled by three parameters: alpha, beta, and gamma, for the estimates of the level, slope b of the trend component, and the seasonal component, respectively, at the current time point. The parameters alpha, beta and gamma all have values between 0 and 1, and values that are close to 0 mean that relatively little weight is placed on the most recent observations when making forecasts of future values. An example of a time series that can probably be described using an additive model with a trend and seasonality is the time series of the log of monthly sales for the souvenir shop at a beach resort town in Queensland, Australia (discussed above): To make forecasts, we can fit a predictive model using the HoltWinters() function. For example, to fit a predictive model for the log of the monthly sales in the souvenir shop, we type: The estimated values of alpha, beta and gamma are 0.41, 0.00, and 0.96, respectively. The value of alpha (0.41) is relatively low, indicating that the estimate of the level at the current time point is based upon both recent observations and some observations in the more distant past. The value of beta is 0.00, indicating that the estimate of the slope b of the trend component is not updated over the time series, and instead is set equal to its initial value. This makes good intuitive sense, as the level changes quite a bit over the time series, but the slope b of the trend component remains roughly the same. In contrast, the value of gamma (0.96) is high, indicating that the estimate of the seasonal component at the current time point is just based upon very recent observations. As for simple exponential smoothing and Holt8217s exponential smoothing, we can plot the original time series as a black line, with the forecasted values as a red line on top of that: We see from the plot that the Holt-Winters exponential method is very successful in predicting the seasonal peaks, which occur roughly in November every year. To make forecasts for future times not included in the original time series, we use the 8220forecast. HoltWinters()8221 function in the 8220forecast8221 package. For example, the original data for the souvenir sales is from January 1987 to December 1993. If we wanted to make forecasts for January 1994 to December 1998 (48 more months), and plot the forecasts, we would type: The forecasts are shown as a blue line, and the orange and yellow shaded areas show 80 and 95 prediction intervals, respectively. We can investigate whether the predictive model can be improved upon by checking whether the in-sample forecast errors show non-zero autocorrelations at lags 1-20, by making a correlogram and carrying out the Ljung-Box test: The correlogram shows that the autocorrelations for the in-sample forecast errors do not exceed the significance bounds for lags 1-20. Furthermore, the p-value for Ljung-Box test is 0.6, indicating that there is little evidence of non-zero autocorrelations at lags 1-20. We can check whether the forecast errors have constant variance over time, and are normally distributed with mean zero, by making a time plot of the forecast errors and a histogram (with overlaid normal curve): From the time plot, it appears plausible that the forecast errors have constant variance over time. From the histogram of forecast errors, it seems plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero. Thus, there is little evidence of autocorrelation at lags 1-20 for the forecast errors, and the forecast errors appear to be normally distributed with mean zero and constant variance over time. This suggests that Holt-Winters exponential smoothing provides an adequate predictive model of the log of sales at the souvenir shop, which probably cannot be improved upon. Furthermore, the assumptions upon which the prediction intervals were based are probably valid. ARIMA Models Exponential smoothing methods are useful for making forecasts, and make no assumptions about the correlations between successive values of the time series. However, if you want to make prediction intervals for forecasts made using exponential smoothing methods, the prediction intervals require that the forecast errors are uncorrelated and are normally distributed with mean zero and constant variance. While exponential smoothing methods do not make any assumptions about correlations between successive values of the time series, in some cases you can make a better predictive model by taking correlations in the data into account. Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) models include an explicit statistical model for the irregular component of a time series, that allows for non-zero autocorrelations in the irregular component. Differencing a Time Series ARIMA models are defined for stationary time series. Therefore, if you start off with a non-stationary time series, you will first need to 8216difference8217 the time series until you obtain a stationary time series. If you have to difference the time series d times to obtain a stationary series, then you have an ARIMA(p, d,q) model, where d is the order of differencing used. You can difference a time series using the 8220diff()8221 function in R. For example, the time series of the annual diameter of women8217s skirts at the hem, from 1866 to 1911 is not stationary in mean, as the level changes a lot over time: We can difference the time series (which we stored in 8220skirtsseries8221, see above) once, and plot the differenced series, by typing: The resulting time series of first differences (above) does not appear to be stationary in mean. Therefore, we can difference the time series twice, to see if that gives us a stationary time series: Formal tests for stationarity Formal tests for stationarity called 8220unit root tests8221 are available in the fUnitRoots package, available on CRAN, but will not be discussed here. The time series of second differences (above) does appear to be stationary in mean and variance, as the level of the series stays roughly constant over time, and the variance of the series appears roughly constant over time. Thus, it appears that we need to difference the time series of the diameter of skirts twice in order to achieve a stationary series. If you need to difference your original time series data d times in order to obtain a stationary time series, this means that you can use an ARIMA(p, d,q) model for your time series, where d is the order of differencing used. For example, for the time series of the diameter of women8217s skirts, we had to difference the time series twice, and so the order of differencing (d) is 2. This means that you can use an ARIMA(p,2,q) model for your time series. The next step is to figure out the values of p and q for the ARIMA model. Another example is the time series of the age of death of the successive kings of England (see above): From the time plot (above), we can see that the time series is not stationary in mean. To calculate the time series of first differences, and plot it, we type: The time series of first differences appears to be stationary in mean and variance, and so an ARIMA(p,1,q) model is probably appropriate for the time series of the age of death of the kings of England. By taking the time series of first differences, we have removed the trend component of the time series of the ages at death of the kings, and are left with an irregular component. We can now examine whether there are correlations between successive terms of this irregular component if so, this could help us to make a predictive model for the ages at death of the kings. Selecting a Candidate ARIMA Model If your time series is stationary, or if you have transformed it to a stationary time series by differencing d times, the next step is to select the appropriate ARIMA model, which means finding the values of most appropriate values of p and q for an ARIMA(p, d,q) model. To do this, you usually need to examine the correlogram and partial correlogram of the stationary time series. To plot a correlogram and partial correlogram, we can use the 8220acf()8221 and 8220pacf()8221 functions in R, respectively. To get the actual values of the autocorrelations and partial autocorrelations, we set 8220plotFALSE8221 in the 8220acf()8221 and 8220pacf()8221 functions. Example of the Ages at Death of the Kings of England For example, to plot the correlogram for lags 1-20 of the once differenced time series of the ages at death of the kings of England, and to get the values of the autocorrelations, we type: We see from the correlogram that the autocorrelation at lag 1 (-0.360) exceeds the significance bounds, but all other autocorrelations between lags 1-20 do not exceed the significance bounds. To plot the partial correlogram for lags 1-20 for the once differenced time series of the ages at death of the English kings, and get the values of the partial autocorrelations, we use the 8220pacf()8221 function, by typing: The partial correlogram shows that the partial autocorrelations at lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, are negative, and are slowly decreasing in magnitude with increasing lag (lag 1: -0.360, lag 2: -0.335, lag 3:-0.321). The partial autocorrelations tail off to zero after lag 3. Since the correlogram is zero after lag 1, and the partial correlogram tails off to zero after lag 3, this means that the following ARMA (autoregressive moving average) models are possible for the time series of first differences: an ARMA(3,0) model, that is, an autoregressive model of order p3, since the partial autocorrelogram is zero after lag 3, and the autocorrelogram tails off to zero (although perhaps too abruptly for this model to be appropriate) an ARMA(0,1) model, that is, a moving average model of order q1, since the autocorrelogram is zero after lag 1 and the partial autocorrelogram tails off to zero an ARMA(p, q) model, that is, a mixed model with p and q greater than 0, since the autocorrelogram and partial correlogram tail off to zero (although the correlogram probably tails off to zero too abruptly for this model to be appropriate) We use the principle of parsimony to decide which model is best: that is, we assume that the model with the fewest parameters is best. The ARMA(3,0) model has 3 parameters, the ARMA(0,1) model has 1 parameter, and the ARMA(p, q) model has at least 2 parameters. Therefore, the ARMA(0,1) model is taken as the best model. An ARMA(0,1) model is a moving average model of order 1, or MA(1) model. This model can be written as: Xt - mu Zt - (theta Zt-1), where Xt is the stationary time series we are studying (the first differenced series of ages at death of English kings), mu is the mean of time series Xt, Zt is white noise with mean zero and constant variance, and theta is a parameter that can be estimated. A MA (moving average) model is usually used to model a time series that shows short-term dependencies between successive observations. Intuitively, it makes good sense that a MA model can be used to describe the irregular component in the time series of ages at death of English kings, as we might expect the age at death of a particular English king to have some effect on the ages at death of the next king or two, but not much effect on the ages at death of kings that reign much longer after that. Shortcut: the auto. arima() function The auto. arima() function can be used to find the appropriate ARIMA model, eg. type 8220library(forecast)8221, then 8220auto. arima(kings)8221. The output says an appropriate model is ARIMA(0,1,1). Since an ARMA(0,1) model (with p0, q1) is taken to be the best candidate model for the time series of first differences of the ages at death of English kings, then the original time series of the ages of death can be modelled using an ARIMA(0,1,1) model (with p0, d1, q1, where d is the order of differencing required). Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere Let8217s take another example of selecting an appropriate ARIMA model. The file file robjhyndmantsdldataannualdvi. dat contains data on the volcanic dust veil index in the northern hemisphere, from 1500-1969 (original data from Hipel and Mcleod, 1994). This is a measure of the impact of volcanic eruptions8217 release of dust and aerosols into the environment. We can read it into R and make a time plot by typing: From the time plot, it appears that the random fluctuations in the time series are roughly constant in size over time, so an additive model is probably appropriate for describing this time series. Furthermore, the time series appears to be stationary in mean and variance, as its level and variance appear to be roughly constant over time. Therefore, we do not need to difference this series in order to fit an ARIMA model, but can fit an ARIMA model to the original series (the order of differencing required, d, is zero here). We can now plot a correlogram and partial correlogram for lags 1-20 to investigate what ARIMA model to use: We see from the correlogram that the autocorrelations for lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, and that the autocorrelations tail off to zero after lag 3. The autocorrelations for lags 1, 2, 3 are positive, and decrease in magnitude with increasing lag (lag 1: 0.666, lag 2: 0.374, lag 3: 0.162). The autocorrelation for lags 19 and 20 exceed the significance bounds too, but it is likely that this is due to chance, since they just exceed the significance bounds (especially for lag 19), the autocorrelations for lags 4-18 do not exceed the signifiance bounds, and we would expect 1 in 20 lags to exceed the 95 significance bounds by chance alone. From the partial autocorrelogram, we see that the partial autocorrelation at lag 1 is positive and exceeds the significance bounds (0.666), while the partial autocorrelation at lag 2 is negative and also exceeds the significance bounds (-0.126). The partial autocorrelations tail off to zero after lag 2. Since the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2, the following ARMA models are possible for the time series: an ARMA(2,0) model, since the partial autocorrelogram is zero after lag 2, and the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2 an ARMA(0,3) model, since the autocorrelogram is zero after lag 3, and the partial correlogram tails off to zero (although perhaps too abruptly for this model to be appropriate) an ARMA(p, q) mixed model, since the correlogram and partial correlogram tail off to zero (although the partial correlogram perhaps tails off too abruptly for this model to be appropriate) Shortcut: the auto. arima() function Again, we can use auto. arima() to find an appropriate model, by typing 8220auto. arima(volcanodust)8221, which gives us ARIMA(1,0,2), which has 3 parameters. However, different criteria can be used to select a model (see auto. arima() help page). If we use the 8220bic8221 criterion, which penalises the number of parameters, we get ARIMA(2,0,0), which is ARMA(2,0): 8220auto. arima(volcanodust, ic8221bic8221)8221. The ARMA(2,0) model has 2 parameters, the ARMA(0,3) model has 3 parameters, and the ARMA(p, q) model has at least 2 parameters. Therefore, using the principle of parsimony, the ARMA(2,0) model and ARMA(p, q) model are equally good candidate models. An ARMA(2,0) model is an autoregressive model of order 2, or AR(2) model. This model can be written as: Xt - mu (Beta1 (Xt-1 - mu)) (Beta2 (Xt-2 - mu)) Zt, where Xt is the stationary time series we are studying (the time series of volcanic dust veil index), mu is the mean of time series Xt, Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated, and Zt is white noise with mean zero and constant variance. An AR (autoregressive) model is usually used to model a time series which shows longer term dependencies between successive observations. Intuitively, it makes sense that an AR model could be used to describe the time series of volcanic dust veil index, as we would expect volcanic dust and aerosol levels in one year to affect those in much later years, since the dust and aerosols are unlikely to disappear quickly. If an ARMA(2,0) model (with p2, q0) is used to model the time series of volcanic dust veil index, it would mean that an ARIMA(2,0,0) model can be used (with p2, d0, q0, where d is the order of differencing required). Similarly, if an ARMA(p, q) mixed model is used, where p and q are both greater than zero, than an ARIMA(p,0,q) model can be used. Forecasting Using an ARIMA Model Once you have selected the best candidate ARIMA(p, d,q) model for your time series data, you can estimate the parameters of that ARIMA model, and use that as a predictive model for making forecasts for future values of your time series. You can estimate the parameters of an ARIMA(p, d,q) model using the 8220arima()8221 function in R. Example of the Ages at Death of the Kings of England For example, we discussed above that an ARIMA(0,1,1) model seems a plausible model for the ages at deaths of the kings of England. You can specify the values of p, d and q in the ARIMA model by using the 8220order8221 argument of the 8220arima()8221 function in R. To fit an ARIMA(p, d,q) model to this time series (which we stored in the variable 8220kingstimeseries8221, see above), we type: As mentioned above, if we are fitting an ARIMA(0,1,1) model to our time series, it means we are fitting an an ARMA(0,1) model to the time series of first differences. An ARMA(0,1) model can be written Xt - mu Zt - (theta Zt-1), where theta is a parameter to be estimated. From the output of the 8220arima()8221 R function (above), the estimated value of theta (given as 8216ma18217 in the R output) is -0.7218 in the case of the ARIMA(0,1,1) model fitted to the time series of ages at death of kings. Specifying the confidence level for prediction intervals You can specify the confidence level for prediction intervals in forecast. Arima() by using the 8220level8221 argument. For example, to get a 99.5 prediction interval, we would type 8220forecast. Arima(kingstimeseriesarima, h5, levelc(99.5))8221. We can then use the ARIMA model to make forecasts for future values of the time series, using the 8220forecast. Arima()8221 function in the 8220forecast8221 R package. For example, to forecast the ages at death of the next five English kings, we type: The original time series for the English kings includes the ages at death of 42 English kings. The forecast. Arima() function gives us a forecast of the age of death of the next five English kings (kings 43-47), as well as 80 and 95 prediction intervals for those predictions. The age of death of the 42nd English king was 56 years (the last observed value in our time series), and the ARIMA model gives the forecasted age at death of the next five kings as 67.8 years. We can plot the observed ages of death for the first 42 kings, as well as the ages that would be predicted for these 42 kings and for the next 5 kings using our ARIMA(0,1,1) model, by typing: As in the case of exponential smoothing models, it is a good idea to investigate whether the forecast errors of an ARIMA model are normally distributed with mean zero and constant variance, and whether the are correlations between successive forecast errors. For example, we can make a correlogram of the forecast errors for our ARIMA(0,1,1) model for the ages at death of kings, and perform the Ljung-Box test for lags 1-20, by typing: Since the correlogram shows that none of the sample autocorrelations for lags 1-20 exceed the significance bounds, and the p-value for the Ljung-Box test is 0.9, we can conclude that there is very little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors at lags 1-20. To investigate whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we can make a time plot and histogram (with overlaid normal curve) of the forecast errors: The time plot of the in-sample forecast errors shows that the variance of the forecast errors seems to be roughly constant over time (though perhaps there is slightly higher variance for the second half of the time series). The histogram of the time series shows that the forecast errors are roughly normally distributed and the mean seems to be close to zero. Therefore, it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Since successive forecast errors do not seem to be correlated, and the forecast errors seem to be normally distributed with mean zero and constant variance, the ARIMA(0,1,1) does seem to provide an adequate predictive model for the ages at death of English kings. Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere We discussed above that an appropriate ARIMA model for the time series of volcanic dust veil index may be an ARIMA(2,0,0) model. To fit an ARIMA(2,0,0) model to this time series, we can type: As mentioned above, an ARIMA(2,0,0) model can be written as: written as: Xt - mu (Beta1 (Xt-1 - mu)) (Beta2 (Xt-2 - mu)) Zt, where Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated. The output of the arima() function tells us that Beta1 and Beta2 are estimated as 0.7533 and -0.1268 here (given as ar1 and ar2 in the output of arima()). Now we have fitted the ARIMA(2,0,0) model, we can use the 8220forecast. ARIMA()8221 model to predict future values of the volcanic dust veil index. The original data includes the years 1500-1969. To make predictions for the years 1970-2000 (31 more years), we type: We can plot the original time series, and the forecasted values, by typing: One worrying thing is that the model has predicted negative values for the volcanic dust veil index, but this variable can only have positive values The reason is that the arima() and forecast. Arima() functions don8217t know that the variable can only take positive values. Clearly, this is not a very desirable feature of our current predictive model. Again, we should investigate whether the forecast errors seem to be correlated, and whether they are normally distributed with mean zero and constant variance. To check for correlations between successive forecast errors, we can make a correlogram and use the Ljung-Box test: The correlogram shows that the sample autocorrelation at lag 20 exceeds the significance bounds. However, this is probably due to chance, since we would expect one out of 20 sample autocorrelations to exceed the 95 significance bounds. Furthermore, the p-value for the Ljung-Box test is 0.2, indicating that there is little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors for lags 1-20. To check whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we make a time plot of the forecast errors, and a histogram: The time plot of forecast errors shows that the forecast errors seem to have roughly constant variance over time. However, the time series of forecast errors seems to have a negative mean, rather than a zero mean. We can confirm this by calculating the mean forecast error, which turns out to be about -0.22: The histogram of forecast errors (above) shows that although the mean value of the forecast errors is negative, the distribution of forecast errors is skewed to the right compared to a normal curve. Therefore, it seems that we cannot comfortably conclude that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance Thus, it is likely that our ARIMA(2,0,0) model for the time series of volcanic dust veil index is not the best model that we could make, and could almost definitely be improved upon Links and Further Reading Here are some links for further reading. For a more in-depth introduction to R, a good online tutorial is available on the 8220Kickstarting R8221 website, cran. r-project. orgdoccontribLemon-kickstart . There is another nice (slightly more in-depth) tutorial to R available on the 8220Introduction to R8221 website, cran. r-project. orgdocmanualsR-intro. html . You can find a list of R packages for analysing time series data on the CRAN Time Series Task View webpage . To learn about time series analysis, I would highly recommend the book 8220Time series8221 (product code M24902) by the Open University, available from the Open University Shop . There are two books available in the 8220Use R8221 series on using R for time series analyses, the first is Introductory Time Series with R by Cowpertwait and Metcalfe, and the second is Analysis of Integrated and Cointegrated Time Series with R by Pfaff. Acknowledgements I am grateful to Professor Rob Hyndman. for kindly allowing me to use the time series data sets from his Time Series Data Library (TSDL) in the examples in this booklet. Many of the examples in this booklet are inspired by examples in the excellent Open University book, 8220Time series8221 (product code M24902), available from the Open University Shop . Thank you to Ravi Aranke for bringing auto. arima() to my attention, and Maurice Omane-Adjepong for bringing unit root tests to my attention, and Christian Seubert for noticing a small bug in plotForecastErrors(). Thank you for other comments to Antoine Binard and Bill Johnston. I will be grateful if you will send me (Avril Coghlan) corrections or suggestions for improvements to my email address alc 64 sanger 46 ac 46 uk